ÁLGEBRA LINEAR II
Ao Verificar se B = {(1, 1), (-1, 1)} gera o espaço V.
Fazendo: 
Obtemos
Seja T : IR2 
IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .
O polinômio minimal é dado por:
p(x)= (x - 
) . (x - )= p (λ)
p(x)= (x2 -) . (x2 - )= p (λ)
p(x)= (x - ) . (x + )= p (λ)
p(x)= (x2 +) . (x2 + )= p (λ)
p(x)= ( - x +) . ( - x + )= p (λ)
Portanto os valores reais que a1 e a2 assumem são:
a1 = 2 e a2 = - 2
a1 = 2 e a2 = 1
a1 = 2 e a2 = - 3
a1 = - 2 e a2 = - 3
a1 = 1 e a2 = 3
Seja o operador linear T: IR2 → IR2, dado por T(x, y) = (- 3x – 5y, 2y), podemos dizer que o polinômio característico dessa transformação é definido por:
Verificando se A = {(1, 0, 2), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} é uma base de R3 .
Podemos afirmar que A é base de R3 porquê
A é Linearmente Dependente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente.
Ao Verificar se B = {(2, 2), (-1, - 2)} gera o espaço V.
Fazendo: 
Obtemos:
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
Seja T : IR2 IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .
O polinômio minimal é dado por:
p(x)= (x - ) . (x - )= p (λ)
p(x)= (x2 -) . (x2 - )= p (λ)
p(x)= (x - ) . (x + )= p (λ)
p(x)= (x2 +) . (x2 + )= p (λ)
p(x)= ( - x +) . ( - x + )= p (λ)
Portanto os valores reais que a1 e a2 assumem são:
a1 = 2 e a2 = - 2
a1 = 2 e a2 = 1
a1 = 2 e a2 = - 3
a1 = - 2 e a2 = - 3
a1 = 1 e a2 = 3
Seja o operador linear T: IR2 → IR2, dado por T(x, y) = (- 3x – 5y, 2y), podemos dizer que o polinômio característico dessa transformação é definido por:
Verificando se A = {(1, 0, 2), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} é uma base de R3 .
Podemos afirmar que A é base de R3 porquê
A é Linearmente Dependente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente.
Ao Verificar se B = {(2, 2), (-1, - 2)} gera o espaço V.
Fazendo:
Obtemos:
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
p(x)= (x - ) . (x -
)= p (λ)
p(x)= (x2 -) . (x2 -
)= p (λ)
p(x)= (x - ) . (x +
)= p (λ)
p(x)= (x2 +) . (x2 +
)= p (λ)
p(x)= ( - x +) . ( - x +
)= p (λ)
Portanto os valores reais que a1 e a2 assumem são:
a1 = 2 e a2 = - 2
a1 = 2 e a2 = 1
a1 = 2 e a2 = - 3
a1 = - 2 e a2 = - 3
a1 = 1 e a2 = 3
Seja o operador linear T: IR2 → IR2, dado por T(x, y) = (- 3x – 5y, 2y), podemos dizer que o polinômio característico dessa transformação é definido por:
Verificando se A = {(1, 0, 2), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} é uma base de R3 .
Podemos afirmar que A é base de R3 porquê
A é Linearmente Dependente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente.
Ao Verificar se B = {(2, 2), (-1, - 2)} gera o espaço V.
Fazendo:
Obtemos:
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
a1 = 2 e a2 = - 2
a1 = 2 e a2 = 1
a1 = 2 e a2 = - 3
a1 = - 2 e a2 = - 3
a1 = 1 e a2 = 3
Seja o operador linear T: IR2 → IR2, dado por T(x, y) = (- 3x – 5y, 2y), podemos dizer que o polinômio característico dessa transformação é definido por:
Verificando se A = {(1, 0, 2), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} é uma base de R3 .
Podemos afirmar que A é base de R3 porquê
A é Linearmente Dependente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente.
Ao Verificar se B = {(2, 2), (-1, - 2)} gera o espaço V.
Fazendo:
Obtemos:
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
Verificando se A = {(1, 0, 2), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} é uma base de R3 .
Podemos afirmar que A é base de R3 porquê
A é Linearmente Dependente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente.
Ao Verificar se B = {(2, 2), (-1, - 2)} gera o espaço V.
Fazendo:
Obtemos:
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
A é Linearmente Dependente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente e A gera o espaço V.
A é Linearmente Independente e A não gera o espaço V.
A é Linearmente Dependente.
Ao Verificar se B = {(2, 2), (-1, - 2)} gera o espaço V.
Fazendo:
Obtemos:
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.
Assim sabendo que T: IR2IR3 associa vetores pertencentes a IR2 do tipo (x, y) = (- 4, 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, x - y, - y); tem-se uma transformação linear, se:
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, 1)
f(- 4, 1) = (8, 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, - 5, - 1)
f(- 4, 1) = (- 8, 5, - 1)
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.
Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.
Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R3 | x 2 + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W, mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente positivo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W, mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R2| x 2 + y + z = 0} de R2 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.
O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3| x 2 + y + z = 0} de R3 não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R pois:
(i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W, mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.
(ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R∗ estritamente negativo.